Unité d'Enseignement RB35

Les modèles mathématiques sont omniprésents dans les sciences du vivant. Nous débuterons avec des modèles simples, ayant des applications directes en dynamique des populations, épidémiologie, et cancérologie. Ces modèles décrivent entre autre la dynamique d’une nouvelle infection au sein d’une population, ou encore la progression d’une tumeur solide. Le point commun de ces modèles est le concept d’équation différentielle, qui relie une fonction d’intérêt et ses dérivées.

Après un rappel conséquent des outils d’analyse du secondaire, nous verrons omment assimiler cette famille de modèles, en comprendre chacune des contributions à l’aide de nombreux exemples. En parallèle, cette approche va déboucher sur la mise en équations de systèmes physiques simples, dans le but d’étudier des problèmes de biomécanique des cellules et des tissus biologiques.

La majorité des modèles seront traduits en langage de programmation au cours de TP d’informatique (avec le logiciel R), dans le but de visualiser la dynamique des modèles physiques et biologiques.

De nombreux concepts macroscopiques, tels que les grandeurs thermodynamiques ou les concepts associés aux phénomènes de diffusion, se révèlent peu intuitifs.

Une description microscopique des phénomènes en permet alors une meilleure compréhension. Cette démarche sera appliquée à la description du mouvement brownien, aboutissant à une approche intuitive des phénomènes de diffusion, qui seront illustrés par des exemples empruntés au domaine du vivant.

Cet enseignement s’appuiera sur des notions de probabilité et d’algèbre linéaire qui seront entièrement introduites pour l’occasion. Ces notions permettront une description des chaînes de Markov, donc de la marche aléatoire associée à l’approche microscopique du mouvement Brownien.

Enfin, la programmation d’une marche aléatoire permettra à la fois aux étudiants de visualiser le phénomène, mais servira également de prétexte au travail sur un langage informatique.

La chimie et son champ d’application au domaine du vivant, la biochimie, sont à la base des processus physiologiques et permettent d’expliquer certaines pathologies ou le mode d’action de médicaments au niveau moléculaire. Dans cette optique, ce module vise à détailler quelques notions élémentaires de chimie (pH, substitution nucléophile, hydrophilie/lipophilie, thermodynamique…) et de biochimie (équation de Michaelis-Menten, particularités du milieu intracellulaire, fonctionnement de certaines enzymes…). 

Les techniques physicochimiques d’intérêt permettant d’expliquer certaines interactions entre les petites molécules bioactives et les cibles protéiques ou des interactions protéine/protéine seront également abordées. 

En médecine comme en électronique et en physique, on est très souvent amené à utiliser des outils décomposant un signal pour son analyse.

Un des outils mathématiques utilisées pour décomposer/recomposer un signal est la transformée de Fourier (TF). Ce concept ouvre non seulement à une grande partie du traitement du signal et de l’image, mais il facilite aussi la compréhension des méthodes d’imagerie médicale majeures.

Cet enseignement comportera un travail à la fois théorique et pratique sur le traitement d’image, ainsi que sur les notions mathématiques importantes pour comprendre la TF. Il permettra d’approfondir l’utilisation de la TF pour l’instrumentation médicale (IRM, optique, reconstruction tomographique…).

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